Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de (1-cos(4*x))/(2*x*tan(2*x))
-
Límite de (1+3*x)^(1/x)
-
Límite de -6+8*x/3
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + nueve *x^ dos)- tres *x
- raíz cuadrada de (1 más 9 multiplicar por x al cuadrado ) menos 3 multiplicar por x
- raíz cuadrada de (uno más nueve multiplicar por x en el grado dos) menos tres multiplicar por x
- √(1+9*x^2)-3*x
- sqrt(1+9*x2)-3*x
- sqrt1+9*x2-3*x
- sqrt(1+9*x²)-3*x
- sqrt(1+9*x en el grado 2)-3*x
- sqrt(1+9x^2)-3x
- sqrt(1+9x2)-3x
- sqrt1+9x2-3x
- sqrt1+9x^2-3x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-9*x^2)-3*x
- sqrt(1+9*x^2)+3*x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)/(100+x)
Límite de la función sqrt(1+9*x^2)-3*x
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ \
| / 2 |
lim \\/ 1 + 9*x - 3*x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 9*x^2) - 3*x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) \left(3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(3 x\right)^{2} + \left(\sqrt{9 x^{2} + 1}\right)^{2}}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(3 + \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{\frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sqrt{u^{2} + 9} + 3}\right)$$ =
= $$\frac{0}{3 + \sqrt{0^{2} + 9}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) \left(3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right)}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(3 x\right)^{2} + \left(\sqrt{9 x^{2} + 1}\right)^{2}}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(3 + \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{\frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sqrt{u^{2} + 9} + 3}\right)$$ =
= $$\frac{0}{3 + \sqrt{0^{2} + 9}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = -3 + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = -3 + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = -3 + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = -3 + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico