Sr Examen

Otras calculadoras:


sqrt(1+x)-x

Límite de la función sqrt(1+x)-x

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  _______    \
 lim \\/ 1 + x  - x/
x->oo               
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) \left(x + \sqrt{x + 1}\right)}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x + 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x + 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$

Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{0}}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{1}{0}} + \sqrt{1}} = -\infty$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Respuesta rápida [src]
-oo
$$-\infty$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico
Límite de la función sqrt(1+x)-x