Sr Examen

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Límite de la función/ sqrt(2)/ 2+2*x/ sqrt(1/2+2*x)-x*sqrt(2)

Límite de la función sqrt(1/2+2*x)-x*sqrt(2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  ___________       ___\
 lim \\/ 1/2 + 2*x  - x*\/ 2 /
x->oo
lim⁡x→∞(−2x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) 
Limit(sqrt(1/2 + 2*x) - x*sqrt(2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→∞(−2x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right)
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
2x+2x+12\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}
entonces
lim⁡x→∞(−2x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right)
=
lim⁡x→∞((−2x+2x+12)(2x+2x+12)2x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) \left(\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right)}{\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞(−(2x)2+(2x+12)22x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{2} x\right)^{2} + \left(\sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right)^{2}}{\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞(−2x2+2x+122x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2}}{\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞(−2x2+2x+122x+2x+12)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2}}{\sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}}\right)

Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
lim⁡x→∞(−2x32+2x+12x2x+2x+12x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{2} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{2 x + \frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}}\right) =
lim⁡x→∞(−2x32+2x+12x2x+2x+12x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{2} \sqrt{x} + \sqrt{\frac{2 x + \frac{1}{2}}{x}}}\right) =
lim⁡x→∞(−2x32+2x+12x2x+2+12x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{2} \sqrt{x} + \sqrt{2 + \frac{1}{2 x}}}\right)
Sustituimos
u=1xu = \frac{1}{x}
entonces
lim⁡x→∞(−2x32+2x+12x2x+2+12x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{2} \sqrt{x} + \sqrt{2 + \frac{1}{2 x}}}\right) =
lim⁡u→0+(−2(1u)32+21u+121uu2+2+21u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{\frac{1}{u}} + \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{\frac{u}{2} + 2} + \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{u}}}\right) =
= 12∞~−2(10)32+210210+02+2=−∞\frac{\frac{1}{2 \tilde{\infty}} - 2 \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{\frac{1}{0}}}{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{0}} + \sqrt{\frac{0}{2} + 2}} = -\infty

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→∞(−2x+2x+12)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = -\infty
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1010
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-oo
−∞-\infty
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(−2x+2x+12)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0−(−2x+2x+12)=22\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−2x+2x+12)=22\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−2x+2x+12)=−2+102\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−2x+2x+12)=−2+102\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−2x+2x+12)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{2 x + \frac{1}{2}}\right) = \infty
Más detalles con x→-oo
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