Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + dos *x^ dos)-sqrt(uno +x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más 2 multiplicar por x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más dos multiplicar por x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)
- √(1+2*x^2)-√(1+x^2)
- sqrt(1+2*x2)-sqrt(1+x2)
- sqrt1+2*x2-sqrt1+x2
- sqrt(1+2*x²)-sqrt(1+x²)
- sqrt(1+2*x en el grado 2)-sqrt(1+x en el grado 2)
- sqrt(1+2x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+2x2)-sqrt(1+x2)
- sqrt1+2x2-sqrt1+x2
- sqrt1+2x^2-sqrt1+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-2*x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+2*x^2)+sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+2*x^2)-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función sqrt(1+2*x^2)-sqrt(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + 2*x - \/ 1 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 2*x^2) - sqrt(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{2 x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 1\right) + \left(2 x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1}{u \left(\sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 2}\right)}\right)$$ =
= $$\frac{1}{0 \left(\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} + 2}\right)} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{2 x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 1\right) + \left(2 x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1}{u \left(\sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 2}\right)}\right)$$ =
= $$\frac{1}{0 \left(\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} + 2}\right)} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico