Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- -atan(x-x/(uno +x))/x^ dos
- menos arco tangente de gente de (x menos x dividir por (1 más x)) dividir por x al cuadrado
- menos arco tangente de gente de (x menos x dividir por (uno más x)) dividir por x en el grado dos
- -atan(x-x/(1+x))/x2
- -atanx-x/1+x/x2
- -atan(x-x/(1+x))/x²
- -atan(x-x/(1+x))/x en el grado 2
- -atanx-x/1+x/x^2
- -atan(x-x dividir por (1+x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- atan(x-x/(1+x))/x^2
- -atan(x-x/(1-x))/x^2
- -atan(x+x/(1+x))/x^2
- -arctan(x-x/(1+x))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/sin(pi*(20+2*x))
- atan(3*x)/(4*x)
- atan(2/(-1+x))
- atan(-1+x)
- atan(1/(1-x))
Límite de la función -atan(x-x/(1+x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x \ \
|-atan|x - -----| |
| \ 1 + x/ |
lim |-----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-atan(x - x/(1 + x)))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}}{2 x \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 1} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}}{2 x \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / x \ \
|-atan|x - -----| |
| \ 1 + x/ |
lim |-----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1
/ / x \ \
|-atan|x - -----| |
| \ 1 + x/ |
lim |-----------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1
= -1
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(x - \frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo