Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- atan(tres *x)/(cuatro *x)
- arco tangente de gente de (3 multiplicar por x) dividir por (4 multiplicar por x)
- arco tangente de gente de (tres multiplicar por x) dividir por (cuatro multiplicar por x)
- atan(3x)/(4x)
- atan3x/4x
- atan(3*x) dividir por (4*x)
-
Expresiones semejantes
- arctan(3*x)/(4*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/sin(pi*(20+2*x))
- atan(2/(-1+x))
- atan(-1+x)
- atan(1/(1-x))
- atan(n)
Límite de la función atan(3*x)/(4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/atan(3*x)\ lim |---------| x->0+\ 4*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
Limit(atan(3*x)/((4*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \tan{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \tan{\left(u \right)}}\right)}{4}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{4} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{4}$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{4}$$
cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{3}{4}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \tan{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \tan{\left(u \right)}}\right)}{4}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{4} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{4}$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{4}$$
/tan(u)\
= 3/4 / ( lim |------| )
u->0+\ u / cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{3}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{4 \left(9 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{4}$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{4 \left(9 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{4}$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/atan(3*x)\ lim |---------| x->0+\ 4*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
3/4
$$\frac{3}{4}$$
= 0.75
/atan(3*x)\ lim |---------| x->0-\ 4*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
3/4
$$\frac{3}{4}$$
= 0.75
= 0.75
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{3}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{3}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico