Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- cuatro +x^ dos)/(sqrt(x)-sqrt(dos))
- ( menos 4 más x al cuadrado ) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (2))
- ( menos cuatro más x en el grado dos) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (dos))
- (-4+x^2)/(√(x)-√(2))
- (-4+x2)/(sqrt(x)-sqrt(2))
- -4+x2/sqrtx-sqrt2
- (-4+x²)/(sqrt(x)-sqrt(2))
- (-4+x en el grado 2)/(sqrt(x)-sqrt(2))
- -4+x^2/sqrtx-sqrt2
- (-4+x^2) dividir por (sqrt(x)-sqrt(2))
-
Expresiones semejantes
- (4+x^2)/(sqrt(x)-sqrt(2))
- (-4+x^2)/(sqrt(x)+sqrt(2))
- (-4-x^2)/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
Límite de la función (-4+x^2)/(sqrt(x)-sqrt(2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -4 + x |
lim |-------------|
x->2+| ___ ___|
\\/ x - \/ 2 /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
Limit((-4 + x^2)/(sqrt(x) - sqrt(2)), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - \sqrt{2}$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}$$
=
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{2 - x}$$
=
$$\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)\right)$$
=
$$8 \sqrt{2}$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - \sqrt{2}$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}$$
=
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{2 - x}$$
=
$$\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)\right)$$
=
$$8 \sqrt{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(4 x^{\frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(8 \sqrt{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(8 \sqrt{2}\right)$$
=
$$8 \sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(4 x^{\frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(8 \sqrt{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(8 \sqrt{2}\right)$$
=
$$8 \sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -4 + x |
lim |-------------|
x->2+| ___ ___|
\\/ x - \/ 2 /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
___ 8*\/ 2
$$8 \sqrt{2}$$
= 11.3137084989848
/ 2 \
| -4 + x |
lim |-------------|
x->2-| ___ ___|
\\/ x - \/ 2 /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)$$
___ 8*\/ 2
$$8 \sqrt{2}$$
= 11.3137084989848
= 11.3137084989848
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 8 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 8 \sqrt{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \frac{3}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \frac{3}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 8 \sqrt{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \frac{3}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = \frac{3}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico