Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+sqrt(-1+x))/(-5+x)
-
Límite de (1-cos(2*x))/x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Expresiones idénticas
- (x-sin(x^(uno / tres)))^ tres /x^(dos / tres)
- (x menos seno de (x en el grado (1 dividir por 3))) al cubo dividir por x en el grado (2 dividir por 3)
- (x menos seno de (x en el grado (uno dividir por tres))) en el grado tres dividir por x en el grado (dos dividir por tres)
- (x-sin(x(1/3)))3/x(2/3)
- x-sinx1/33/x2/3
- (x-sin(x^(1/3)))³/x^(2/3)
- (x-sin(x en el grado (1/3))) en el grado 3/x en el grado (2/3)
- x-sinx^1/3^3/x^2/3
- (x-sin(x^(1 dividir por 3)))^3 dividir por x^(2 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- (x+sin(x^(1/3)))^3/x^(2/3)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(4*x)/tan(2*x)
- sin(5*x)/tan(2*x)
- sin(2*x)/(5*x)
- sin(5*x)/(7*x)
- sin(5*x)/(4*x^2)
Límite de la función (x-sin(x^(1/3)))^3/x^(2/3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
|/ /3 ___\\ |
|\x - sin\\/ x // |
lim |-----------------|
x->0+| 2/3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
Limit((x - sin(x^(1/3)))^3/x^(2/3), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} - 3 x^{2} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \sin^{3}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{2}{3}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 3 x^{2} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \sin^{3}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- x^{\frac{4}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 2 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x^{2} - 6 x \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- x^{\frac{4}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 2 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x^{2} - 6 x \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} - 3 x^{2} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \sin^{3}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{2}{3}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 3 x^{2} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \sin^{3}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- x^{\frac{4}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 2 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x^{2} - 6 x \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- x^{\frac{4}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 2 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 x^{2} - 6 x \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - 3 \sin{\left(1 \right)} - \sin^{3}{\left(1 \right)} + 1 + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - 3 \sin{\left(1 \right)} - \sin^{3}{\left(1 \right)} + 1 + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - 3 \sin{\left(1 \right)} - \sin^{3}{\left(1 \right)} + 1 + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - 3 \sin{\left(1 \right)} - \sin^{3}{\left(1 \right)} + 1 + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 3\
|/ /3 ___\\ |
|\x - sin\\/ x // |
lim |-----------------|
x->0+| 2/3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
0
$$0$$
= -0.165557938573564
/ 3\
|/ /3 ___\\ |
|\x - sin\\/ x // |
lim |-----------------|
x->0-| 2/3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}\right)^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
0
$$0$$
= (-0.0305836809359532 - 0.0489654841432575j)
= (-0.0305836809359532 - 0.0489654841432575j)