Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{\sin{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(3 \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{\sin{\left(x \right)}} - 1}{x \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{\sin{\left(x \right)}} - 1}{x \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3^{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)