Sr Examen
Descomponer -x^4-x^2-1 al cuadrado
Solución
Factorización
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/ ___\ / ___\ / ___\ / ___\ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | |x + - + -------|*|x + - - -------|*|x + - - + -------|*|x + - - - -------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$\left(x + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$
(((x + 1/2 + i*sqrt(3)/2)*(x + 1/2 - i*sqrt(3)/2))*(x - 1/2 + i*sqrt(3)/2))*(x - 1/2 - i*sqrt(3)/2)
Expresión del cuadrado perfecto
Expresemos el cuadrado perfecto del trinomio cuadrático
$$\left(- x^{4} - x^{2}\right) - 1$$
Para eso usemos la fórmula
$$a x^{4} + b x^{2} + c = a \left(m + x^{2}\right)^{2} + n$$
donde
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
En nuestro caso
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
Entonces
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = - \frac{3}{4}$$
Pues,
$$- \left(x^{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{3}{4}$$
$$\left(- x^{4} - x^{2}\right) - 1$$
Para eso usemos la fórmula
$$a x^{4} + b x^{2} + c = a \left(m + x^{2}\right)^{2} + n$$
donde
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
En nuestro caso
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
Entonces
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = - \frac{3}{4}$$
Pues,
$$- \left(x^{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{3}{4}$$
Combinatoria
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/ 2\ / 2 \ -\1 + x + x /*\1 + x - x/
$$- \left(x^{2} - x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)$$
-(1 + x + x^2)*(1 + x^2 - x)
Unión de expresiones racionales
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2 / 2\ -1 + x *\-1 - x /
$$x^{2} \left(- x^{2} - 1\right) - 1$$
-1 + x^2*(-1 - x^2)