Sr Examen

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(sqrt(n+1)-sqrtn)/(sqrt(n^2)+n)

Suma de la serie (sqrt(n+1)-sqrtn)/(sqrt(n^2)+n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                    
_____                   
\    `                  
 \       _______     ___
  \    \/ n + 1  - \/ n 
   \   -----------------
   /         ____       
  /         /  2        
 /        \/  n   + n   
/____,                  
n = 1                   
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{n + \sqrt{n^{2}}}$$
Sum((sqrt(n + 1) - sqrt(n))/(sqrt(n^2) + n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{n + \sqrt{n^{2}}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{n + \sqrt{n^{2}}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n + 2\right) \left|{\frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n + 2}}}\right|}{2 n}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                   
____                   
\   `                  
 \      _______     ___
  \   \/ 1 + n  - \/ n 
  /   -----------------
 /           2*n       
/___,                  
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{2 n}$$
Sum((sqrt(1 + n) - sqrt(n))/(2*n), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
0.592004735133925976447198148004
0.592004735133925976447198148004
Gráfico
Suma de la serie (sqrt(n+1)-sqrtn)/(sqrt(n^2)+n)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie