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Suma de la serie/ n/x^n

Suma de la serie n/x^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo    
____    
\   `   
 \    n 
  \   --
  /    n
 /    x 
/___,   
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{x^{n}}$$ 
Sum(n/x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{n}{x^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = 1$$
$$R = 1$$
Respuesta [src] 
/    1             1     
|----------   for --- < 1
|         2       |x|    
|  /    1\               
|x*|1 - -|               
|  \    x/               
|                        
<  oo                    
| ___                    
| \  `                   
|  \      -n             
|  /   n*x     otherwise 
| /__,                   
|n = 1                   
\
$$\begin{cases} \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{x}\right|} < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} n x^{- n} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((1/(x*(1 - 1/x)^2), 1/|x| < 1), (Sum(n*x^(-n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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