Suma de la serie arctg(2pi/sqrt(n))

Se da una serie:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \pi}{\sqrt{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \pi}{\sqrt{n}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \pi}{\sqrt{n}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \pi}{\sqrt{n + 1}} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$