Se da una serie:
$$\frac{5^{m} \frac{m!}{\frac{59049}{9765625}} \left(\frac{-1 + \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}}\right)^{m - 10}}{6^{m + 1} \cdot 10! \left(m - 10\right)!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{m} \left(c x - x_{0}\right)^{d m}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{m \to \infty} \left|{\frac{a_{m}}{a_{m + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{m} = \frac{390625 \left(- \frac{2}{3}\right)^{m - 10} \cdot 6^{- m - 1} m!}{8571080448 \left(m - 10\right)!}$$
y
$$x_{0} = -5$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$R = \tilde{\infty} \left(-5 + \lim_{m \to \infty}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{9 - m} \left(\frac{2}{3}\right)^{m - 10} \cdot 6^{- m - 1} \cdot 6^{m + 2} \left|{\frac{m! \left(m - 9\right)!}{\left(m - 10\right)! \left(m + 1\right)!}}\right|\right)\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \tilde{\infty} \left(-5 + \lim_{m \to \infty}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{9 - m} \left(\frac{2}{3}\right)^{m - 10} \cdot 6^{- m - 1} \cdot 6^{m + 2} \left|{\frac{m! \left(m - 9\right)!}{\left(m - 10\right)! \left(m + 1\right)!}}\right|\right)\right)$$
$$R = \tilde{\infty} \left(-5 + \lim_{m \to \infty}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{9 - m} \left(\frac{2}{3}\right)^{m - 10} \cdot 6^{- m - 1} \cdot 6^{m + 2} \left|{\frac{m! \left(m - 9\right)!}{\left(m - 10\right)! \left(m + 1\right)!}}\right|\right)\right)$$