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Suma de la serie/ ((5^n)/sqrt((3^n)*(n^2+1)))*x^n

Suma de la serie ((5^n)/sqrt((3^n)*(n^2+1)))*x^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
_____                     
\    `                    
 \             n          
  \           5          n
   \   ----------------*x 
   /      _____________   
  /      /  n / 2    \    
 /     \/  3 *\n  + 1/    
/____,                    
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \frac{5^{n}}{\sqrt{3^{n} \left(n^{2} + 1\right)}}$$ 
Sum((5^n/sqrt(3^n*(n^2 + 1)))*x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$x^{n} \frac{5^{n}}{\sqrt{3^{n} \left(n^{2} + 1\right)}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{3^{n} \left(n^{2} + 1\right)}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 5$$
entonces
$$R = \frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- \frac{n}{2}} \cdot 3^{\frac{n}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} + 1}}\right)}{5}$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{\sqrt{3}}{5}$$
$$R^{1} = 0.346410161513775$$
$$R = 0.346410161513775$$
Respuesta [src] 
   oo              
______             
\     `            
 \        -n       
  \       ---      
   \       2   n  n
    \    3   *5 *x 
    /   -----------
   /       ________
  /       /      2 
 /      \/  1 + n  
/_____,            
 n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{- \frac{n}{2}} \cdot 5^{n} x^{n}}{\sqrt{n^{2} + 1}}$$ 
Sum(3^(-n/2)*5^n*x^n/sqrt(1 + n^2), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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