Suma de la serie sqrt(n+arctg(n))-arctg(n)

Se da una serie:
$$\sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} - \operatorname{atan}{\left(n \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} - \operatorname{atan}{\left(n \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} - \operatorname{atan}{\left(n \right)}}{\sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} - \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$