Sr Examen

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n^2*(arctg(pi/n))^n

Suma de la serie n^2*(arctg(pi/n))^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
 ___              
 \  `             
  \    2     n/pi\
   )  n *atan |--|
  /           \n /
 /__,             
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}$$
Sum(n^2*atan(pi/n)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n^{2} \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n^{2} \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \infty$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica [src]
15.1815289270912978561948796771
15.1815289270912978561948796771
Gráfico
Suma de la serie n^2*(arctg(pi/n))^n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie