Sr Examen

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arctg^n(n-1)/(n+1)

Suma de la serie arctg^n(n-1)/(n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
____              
\   `             
 \        n       
  \   atan (n - 1)
  /   ------------
 /       n + 1    
/___,             
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1}$$
Sum(atan(n - 1)^n/(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right) \left|{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}\right| \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(n \right)}}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right) \left|{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}\right| \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(n \right)}}{n + 1}\right)$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Gráfico
Suma de la serie arctg^n(n-1)/(n+1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie