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arctg^n(n-1)/(n+1)
Suma de la serie/ arctg^n(n-1)/(n+1)

Suma de la serie arctg^n(n-1)/(n+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo              
____              
\   `             
 \        n       
  \   atan (n - 1)
  /   ------------
 /       n + 1    
/___,             
n = 1
∑n=1∞atan⁡n(n−1)n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1} 
Sum(atan(n - 1)^n/(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡n(n−1)n+1\frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡n(n−1)n+1a_{n} = \frac{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}{n + 1}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞((n+2)∣atan⁡n(n−1)∣atan⁡−n−1(n)n+1)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right) \left|{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}\right| \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(n \right)}}{n + 1}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=lim⁡n→∞((n+2)∣atan⁡n(n−1)∣atan⁡−n−1(n)n+1)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right) \left|{\operatorname{atan}^{n}{\left(n - 1 \right)}}\right| \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(n \right)}}{n + 1}\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.505
Gráfico
Suma de la serie arctg^n(n-1)/(n+1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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