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arctg((n-1)/(n+1))^n
Suma de la serie/ arctg((n-1)/(n+1))^n

Suma de la serie arctg((n-1)/(n+1))^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo              
 ___              
 \  `             
  \       n/n - 1\
   )  atan |-----|
  /        \n + 1/
 /__,             
n = 1
∑n=1∞atan⁡n(n−1n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n - 1}{n + 1} \right)} 
Sum(atan((n - 1)/(n + 1))^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡n(n−1n+1)\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n - 1}{n + 1} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡n(n−1n+1)a_{n} = \operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n - 1}{n + 1} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(∣atan⁡n(n−1n+1)∣atan⁡−n−1(nn+2))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\left|{\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n - 1}{n + 1} \right)}}\right| \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n}{n + 2} \right)}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=4πR^{0} = \frac{4}{\pi}
R0=1.27323954473516R^{0} = 1.27323954473516
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.00.5
Respuesta numérica [src] 
0.636011155635346160246593268997
0.636011155635346160246593268997
Gráfico
Suma de la serie arctg((n-1)/(n+1))^n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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