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arctg(pi/3^(n+1))

Suma de la serie arctg(pi/3^(n+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
____              
\   `             
 \        /  pi  \
  \   atan|------|
  /       | n + 1|
 /        \3     /
/___,             
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{3^{n + 1}} \right)}$$
Sum(atan(pi/3^(n + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{3^{n + 1}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(3^{- n - 1} \pi \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{- n - 1} \pi \right)}}{\operatorname{atan}{\left(3^{- n - 2} \pi \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 3$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                  
 ___                  
 \  `                 
  \       /    -1 - n\
  /   atan\pi*3      /
 /__,                 
n = 1                 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{- n - 1} \pi \right)}$$
Sum(atan(pi*3^(-1 - n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
0.509834250019686664733594525172
0.509834250019686664733594525172
Gráfico
Suma de la serie arctg(pi/3^(n+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie