Sr Examen

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((sqrt(n+1)-sqrt(n))^2)/n

Suma de la serie ((sqrt(n+1)-sqrt(n))^2)/n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                      
____                      
\   `                     
 \                       2
  \   /  _______     ___\ 
   )  \\/ n + 1  - \/ n / 
  /   --------------------
 /             n          
/___,                     
n = 1                     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)^{2}}{n}$$
Sum((sqrt(n + 1) - sqrt(n))^2/n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)^{2}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)^{2}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}\right)^{2} \left(n + 1\right) \left|{\frac{1}{\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n + 2}\right)^{2}}}\right|}{n}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica [src]
0.312479427969230336105269752978
0.312479427969230336105269752978
Gráfico
Suma de la serie ((sqrt(n+1)-sqrt(n))^2)/n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie