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Suma de la serie/ arctg(1/x^(1/3))

Suma de la serie arctg(1/x^(1/3))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \        /  1  \
  \   atan|-----|
  /       |3 ___|
 /        \\/ x /
/___,            
n = 1
∑n=1∞atan⁡(1x3)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)} 
Sum(atan(1/(x^(1/3))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡(1x3)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡(1x3)a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞11 = \lim_{n \to \infty} 1
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
       /  1  \
oo*atan|-----|
       |3 ___|
       \\/ x /
∞atan⁡(1x3)\infty \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)} 
oo*atan(x^(-1/3))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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