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Suma de la serie (sin(pi/2^n))^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \       n/pi\
  \   sin |--|
  /       | n|
 /        \2 /
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{n}{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Sum(sin(pi/2^n)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\sin^{n}{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sin^{n}{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin^{n}{\left(2^{- n} \pi \right)}}\right|}{\left|{\sin^{n + 1}{\left(2^{- n - 1} \pi \right)}}\right|}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \infty$$
Respuesta [src]
  oo              
 ___              
 \  `             
  \      n/    -n\
  /   sin \pi*2  /
 /__,             
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{n}{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
Sum(sin(pi*2^(-n))^n, (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
1.55750033361599519690376036153
1.55750033361599519690376036153

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie