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Suma de la serie sin(pi/(2^n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo         
____         
\   `        
 \       /pi\
  \   sin|--|
  /      | n|
 /       \2 /
/___,        
n = 1        
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Sum(sin(pi/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sin{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(2^{- n} \pi \right)}}{\sin{\left(2^{- n - 1} \pi \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 2$$
Respuesta [src]
  oo             
 ___             
 \  `            
  \      /    -n\
  /   sin\pi*2  /
 /__,            
n = 1            
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
Sum(sin(pi*2^(-n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
2.48104991933372426275028794950
2.48104991933372426275028794950

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie