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Suma de la serie/ sin(pi/(2^n))

Suma de la serie sin(pi/(2^n))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo         
____         
\   `        
 \       /pi\
  \   sin|--|
  /      | n|
 /       \2 /
/___,        
n = 1
∑n=1∞sin⁡(π2n)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)} 
Sum(sin(pi/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(π2n)\sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡(2−nπ)a_{n} = \sin{\left(2^{- n} \pi \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣sin⁡(2−nπ)sin⁡(2−n−1π)∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(2^{- n} \pi \right)}}{\sin{\left(2^{- n - 1} \pi \right)}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=2R^{0} = 2
Respuesta [src] 
  oo             
 ___             
 \  `            
  \      /    -n\
  /   sin\pi*2  /
 /__,            
n = 1
∑n=1∞sin⁡(2−nπ)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(2^{- n} \pi \right)} 
Sum(sin(pi*2^(-n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src] 
2.48104991933372426275028794950
2.48104991933372426275028794950

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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