Se da una serie:
$$\frac{2^{n} \tan{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)} \left(x + 1\right)^{n}}{5^{n} \sqrt{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2^{n} 5^{- n} \tan{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt{n}}$$
y
$$x_{0} = -1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n} 2^{- n - 1} \cdot 5^{- n} 5^{n + 1} \sqrt{n + 1} \left|{\frac{\tan{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\tan{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n + 1}} \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \frac{3}{2}$$
$$R = 1.5$$