Suma de la serie sin(3n+2)(5^(n+2))

Se da una serie:
$$5^{n + 2} \sin{\left(3 n + 2 \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 5^{n + 2} \sin{\left(3 n + 2 \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(5^{- n - 3} \cdot 5^{n + 2} \left|{\frac{\sin{\left(3 n + 2 \right)}}{\sin{\left(3 n + 5 \right)}}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(5^{- n - 3} \cdot 5^{n + 2} \left|{\frac{\sin{\left(3 n + 2 \right)}}{\sin{\left(3 n + 5 \right)}}}\right|\right)$$