Sr Examen

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Suma de la serie ((-1)^n)*(x^2*n+1)/(2*n+1)!



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        n / 2      \
  \   (-1) *\x *n + 1/
  /   ----------------
 /       (2*n + 1)!   
/___,                 
n = 0                 
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n} \left(n x^{2} + 1\right)}{\left(2 n + 1\right)!}$$
Sum(((-1)^n*(x^2*n + 1))/factorial(2*n + 1), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(-1\right)^{n} \left(n x^{2} + 1\right)}{\left(2 n + 1\right)!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n x^{2} + 1}{\left(2 n + 1\right)!}$$
y
$$x_{0} = 1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$R = \tilde{\infty} \left(1 + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n x^{2} + 1\right) \left(2 n + 3\right)!}{\left(x^{2} \left(n + 1\right) + 1\right) \left(2 n + 1\right)!}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \infty$$
$$R = \infty$$
Respuesta [src]
 2 /cos(1)   sin(1)\         
x *|------ - ------| + sin(1)
   \  2        2   /         
$$x^{2} \left(- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}\right) + \sin{\left(1 \right)}$$
x^2*(cos(1)/2 - sin(1)/2) + sin(1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie