Sr Examen

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Suma de la serie arcsin(n/2)/(n^0.5)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
_____         
\    `        
 \         /n\
  \    asin|-|
   \       \2/
   /   -------
  /       ___ 
 /      \/ n  
/____,        
n = 1         
n=1asin(n2)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}
Sum(asin(n/2)/sqrt(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
asin(n2)n\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=asin(n2)na_{n} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn(n+1asin(n2)asin(n2+12)n)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2} \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn(n+1asin(n2)asin(n2+12)n)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2} \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie