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Suma de la serie/ 6sin(pin/2)cos(nx)/npi

Suma de la serie 6sin(pin/2)cos(nx)/npi


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                         
____                         
\   `                        
 \         /pi*n\            
  \   6*sin|----|*cos(n*x)   
   )       \ 2  /            
  /   --------------------*pi
 /             n             
/___,                        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \pi \frac{6 \sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)} \cos{\left(n x \right)}}{n}$$ 
Sum((((6*sin((pi*n)/2))*cos(n*x))/n)*pi, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\pi \frac{6 \sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)} \cos{\left(n x \right)}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{6 \pi \sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)} \cos{\left(n x \right)}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{\frac{\sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)} \cos{\left(n x \right)}}{\sin{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)} \cos{\left(x \left(n + 1\right) \right)}}}\right|}{n}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
  oo                         
____                         
\   `                        
 \                     /pi*n\
  \   6*pi*cos(n*x)*sin|----|
   )                   \ 2  /
  /   -----------------------
 /               n           
/___,                        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \pi \sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)} \cos{\left(n x \right)}}{n}$$ 
Sum(6*pi*cos(n*x)*sin(pi*n/2)/n, (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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