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Suma de la serie/ factorial(n)*(x+1)^n/5^n

Suma de la serie factorial(n)*(x+1)^n/5^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \              n
  \   n!*(x + 1) 
   )  -----------
  /         n    
 /         5     
/___,            
n = 1
∑n=1∞(x+1)nn!5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 1\right)^{n} n!}{5^{n}} 
Sum((factorial(n)*(x + 1)^n)/5^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(x+1)nn!5n\frac{\left(x + 1\right)^{n} n!}{5^{n}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=5−nn!a_{n} = 5^{- n} n!
y
x0=−1x_{0} = -1
,
d=1d = 1
,
c=1c = 1
entonces
R=−1+lim⁡n→∞(5−n5n+1∣n!(n+1)!∣)R = -1 + \lim_{n \to \infty}\left(5^{- n} 5^{n + 1} \left|{\frac{n!}{\left(n + 1\right)!}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=−1R^{1} = -1
R=−1R = -1
Respuesta [src] 
  oo                 
 ___                 
 \  `                
  \    -n        n   
  /   5  *(1 + x) *n!
 /__,                
n = 1
∑n=1∞5−n(x+1)nn!\sum_{n=1}^{\infty} 5^{- n} \left(x + 1\right)^{n} n! 
Sum(5^(-n)*(1 + x)^n*factorial(n), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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