Sr Examen

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cos(n^0,5)/(n^0,5)

Suma de la serie cos(n^0,5)/(n^0,5)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \       /  ___\
  \   cos\\/ n /
   )  ----------
  /       ___   
 /      \/ n    
/___,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{\sqrt{n}}$$
Sum(cos(sqrt(n))/sqrt(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{\sqrt{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{\sqrt{n}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{n + 1} \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{n + 1} \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie cos(n^0,5)/(n^0,5)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie