Sr Examen

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arctg(1/n^(1/3))/(n+2)^(1/4)

Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))/(n+2)^(1/4)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \         /  1  \
  \    atan|-----|
   \       |3 ___|
    )      \\/ n /
   /   -----------
  /     4 _______ 
 /      \/ n + 2  
/____,            
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt[4]{n + 2}}$$
Sum(atan(1/(n^(1/3)))/(n + 2)^(1/4), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt[4]{n + 2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt[4]{n + 2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt[4]{n + 3} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt[4]{n + 2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n + 1}} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \         /  1  \
  \    atan|-----|
   \       |3 ___|
    )      \\/ n /
   /   -----------
  /     4 _______ 
 /      \/ 2 + n  
/____,            
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\sqrt[4]{n + 2}}$$
Sum(atan(n^(-1/3))/(2 + n)^(1/4), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))/(n+2)^(1/4)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie