Se da una serie:
$$\left(2 n + 1\right) \tan{\left(\frac{\pi}{3^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(2 n + 1\right) \tan{\left(3^{- n} \pi \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n + 1\right) \left|{\frac{\tan{\left(3^{- n} \pi \right)}}{\tan{\left(3^{- n - 1} \pi \right)}}}\right|}{2 n + 3}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = 3$$