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Suma de la serie/ sin(sqrt(n)/((n^2)+1))*(x-2)^2n

Suma de la serie sin(sqrt(n)/((n^2)+1))*(x-2)^2n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                        
____                        
\   `                       
 \       /  ___ \           
  \      |\/ n  |        2  
   )  sin|------|*(x - 2) *n
  /      | 2    |           
 /       \n  + 1/           
/___,                       
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \left(x - 2\right)^{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1} \right)}$$ 
Sum((sin(sqrt(n)/(n^2 + 1))*(x - 2)^2)*n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n \left(x - 2\right)^{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n \left(x - 2\right)^{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\frac{\sin{\left(\frac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1} \right)}}{\sin{\left(\frac{\sqrt{n + 1}}{\left(n + 1\right)^{2} + 1} \right)}}}\right|}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
  oo                         
____                         
\   `                        
 \                   /  ___ \
  \             2    |\/ n  |
   )  n*(-2 + x) *sin|------|
  /                  |     2|
 /                   \1 + n /
/___,                        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \left(x - 2\right)^{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1} \right)}$$ 
Sum(n*(-2 + x)^2*sin(sqrt(n)/(1 + n^2)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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