Sr Examen

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Suma de la serie ((x+2)^n)/(n^2+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x + 2) 
   )  --------
  /     2     
 /     n  + 1 
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 2\right)^{n}}{n^{2} + 1}$$
Sum((x + 2)^n/(n^2 + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x + 2\right)^{n}}{n^{2} + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1}$$
y
$$x_{0} = -2$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -2 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 1}{n^{2} + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -1$$
$$R = -1$$

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie