Sr Examen

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((sin(n))^2)/sqrt((n^3)+2)

Suma de la serie ((sin(n))^2)/sqrt((n^3)+2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \          2     
  \      sin (n)  
   \   -----------
   /      ________
  /      /  3     
 /     \/  n  + 2 
/____,            
n = 1             
n=1sin2(n)n3+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(n \right)}}{\sqrt{n^{3} + 2}}
Sum(sin(n)^2/sqrt(n^3 + 2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin2(n)n3+2\frac{\sin^{2}{\left(n \right)}}{\sqrt{n^{3} + 2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin2(n)n3+2a_{n} = \frac{\sin^{2}{\left(n \right)}}{\sqrt{n^{3} + 2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)3+2sin2(n)1sin2(n+1)n3+2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \sin^{2}{\left(n \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{\sqrt{n^{3} + 2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn((n+1)3+2sin2(n)1sin2(n+1)n3+2)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \sin^{2}{\left(n \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{\sqrt{n^{3} + 2}}\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.01.0
Gráfico
Suma de la serie ((sin(n))^2)/sqrt((n^3)+2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie