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Suma de la serie/ 3^n*x^n/n^2

Suma de la serie 3^n*x^n/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo       
____       
\   `      
 \     n  n
  \   3 *x 
   )  -----
  /      2 
 /      n  
/___,      
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} x^{n}}{n^{2}}$$ 
Sum((3^n*x^n)/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{3^{n} x^{n}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{3^{n}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} 3^{- n - 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{1}{3}$$
$$R^{1} = 0.333333333333333$$
$$R = 0.333333333333333$$
Respuesta [src] 
/polylog(2, 3*x)  for 3*|x| <= 1
|                               
|    oo                         
|  ____                         
|  \   `                        
|   \     n  n                  
<    \   3 *x                   
|     )  -----      otherwise   
|    /      2                   
|   /      n                    
|  /___,                        
|  n = 1                        
\
$$\begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(3 x\right) & \text{for}\: 3 \left|{x}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} x^{n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((polylog(2, 3*x), 3*|x| <= 1), (Sum(3^n*x^n/n^2, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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