Se da una serie:
$$\frac{3^{n} x^{n}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{3^{n}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} 3^{- n - 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \frac{1}{3}$$
$$R^{1} = 0.333333333333333$$
$$R = 0.333333333333333$$