Sr Examen

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Suma de la serie (x+2)^n/(n*(ln^2)*(n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
____             
\   `            
 \             n 
  \     (x + 2)  
   )  -----------
  /        2     
 /    n*log (x)*n
/___,            
n = 2            
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(x + 2\right)^{n}}{n n \log{\left(x \right)}^{2}}$$
Sum((x + 2)^n/(((n*log(x)^2)*n)), (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x + 2\right)^{n}}{n n \log{\left(x \right)}^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}$$
y
$$x_{0} = -2$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -2 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -1$$
$$R = -1$$
Respuesta [src]
/       2 /    4     4*polylog(2, 2 + x)\                  
|(2 + x) *|- ----- + -------------------|                  
|         |  2 + x                2     |                  
|         \                (2 + x)      /                  
|----------------------------------------  for |2 + x| <= 1
|                   4                                      
|                                                          
|               oo                                         
<             ____                                         
|             \   `                                        
|              \           n                               
|               \   (2 + x)                                
|                )  --------                  otherwise    
|               /       2                                  
|              /       n                                   
|             /___,                                        
\             n = 2                                        
-----------------------------------------------------------
                             2                             
                          log (x)                          
$$\frac{\begin{cases} \frac{\left(x + 2\right)^{2} \left(- \frac{4}{x + 2} + \frac{4 \operatorname{Li}_{2}\left(x + 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{4} & \text{for}\: \left|{x + 2}\right| \leq 1 \\\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(x + 2\right)^{n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$$
Piecewise(((2 + x)^2*(-4/(2 + x) + 4*polylog(2, 2 + x)/(2 + x)^2)/4, |2 + x| <= 1), (Sum((2 + x)^n/n^2, (n, 2, oo)), True))/log(x)^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie