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Suma de la serie/ nx^2/n^5+x^5

Suma de la serie nx^2/n^5+x^5


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \    /   2     \
  \   |n*x     5|
   )  |---- + x |
  /   |  5      |
 /    \ n       /
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(x^{5} + \frac{n x^{2}}{n^{5}}\right)$$ 
Sum((n*x^2)/n^5 + x^5, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$x^{5} + \frac{n x^{2}}{n^{5}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = x^{5} + \frac{x^{2}}{n^{4}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{x^{5} + \frac{x^{2}}{n^{4}}}{x^{5} + \frac{x^{2}}{\left(n + 1\right)^{4}}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
          4  2
    5   pi *x 
oo*x  + ------
          90
$$\infty x^{5} + \frac{\pi^{4} x^{2}}{90}$$ 
oo*x^5 + pi^4*x^2/90

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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