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Suma de la serie/ narcsin^np/4n

Suma de la serie narcsin^np/4n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo              
____              
\   `             
 \          n     
  \   n*asin (p)  
  /   ----------*n
 /        4       
/___,             
n = 1
∑n=1∞nnasin⁡n(p)4\sum_{n=1}^{\infty} n \frac{n \operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)}}{4} 
Sum(((n*asin(p)^n)/4)*n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
nnasin⁡n(p)4n \frac{n \operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)}}{4}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=n24a_{n} = \frac{n^{2}}{4}
y
x0=−asin⁡(p)x_{0} = - \operatorname{asin}{\left(p \right)}
,
d=1d = 1
,
c=0c = 0
entonces
R=∞~(−asin⁡(p)+lim⁡n→∞(n2(n+1)2))R = \tilde{\infty} \left(- \operatorname{asin}{\left(p \right)} + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=∞~(1−asin⁡(p))R^{1} = \tilde{\infty} \left(1 - \operatorname{asin}{\left(p \right)}\right)
R=∞~(1−asin⁡(p))R = \tilde{\infty} \left(1 - \operatorname{asin}{\left(p \right)}\right)
Respuesta [src] 
/(-1 - asin(p))*asin(p)                   
|----------------------  for |asin(p)| < 1
|                 3                       
|   (-1 + asin(p))                        
|                                         
|    oo                                   
<   ___                                   
|   \  `                                  
|    \    2     n                         
|    /   n *asin (p)         otherwise    
|   /__,                                  
|  n = 1                                  
\                                         
------------------------------------------
                    4
{(−asin⁡(p)−1)asin⁡(p)(asin⁡(p)−1)3for ∣asin⁡(p)∣<1∑n=1∞n2asin⁡n(p)otherwise4\frac{\begin{cases} \frac{\left(- \operatorname{asin}{\left(p \right)} - 1\right) \operatorname{asin}{\left(p \right)}}{\left(\operatorname{asin}{\left(p \right)} - 1\right)^{3}} & \text{for}\: \left|{\operatorname{asin}{\left(p \right)}}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)} & \text{otherwise} \end{cases}}{4} 
Piecewise(((-1 - asin(p))*asin(p)/(-1 + asin(p))^3, Abs(asin(p)) < 1), (Sum(n^2*asin(p)^n, (n, 1, oo)), True))/4

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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