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Suma de la serie/ narcsin^n(pi/4n)

Suma de la serie narcsin^n(pi/4n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo               
 ___               
 \  `              
  \         n/pi  \
   )  n*asin |--*n|
  /          \4   /
 /__,              
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \operatorname{asin}^{n}{\left(n \frac{\pi}{4} \right)}$$ 
Sum(n*asin((pi/4)*n)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n \operatorname{asin}^{n}{\left(n \frac{\pi}{4} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n \operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}}\right|}{\left(n + 1\right) \left|{\operatorname{asin}^{n + 1}{\left(\frac{\pi \left(n + 1\right)}{4} \right)}}\right|}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}}\right|}{\left(n + 1\right) \left|{\operatorname{asin}^{n + 1}{\left(\frac{\pi \left(n + 1\right)}{4} \right)}}\right|}\right)$$
Respuesta [src] 
  oo               
 ___               
 \  `              
  \         n/pi*n\
   )  n*asin |----|
  /          \ 4  /
 /__,              
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}$$ 
Sum(n*asin(pi*n/4)^n, (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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