Sr Examen

Lang:

Suma de la serie narcsin^n(pi/4n)

Ha introducido [src]

  oo               
 ___               
 \  `              
  \         n/pi  \
   )  n*asin |--*n|
  /          \4   /
 /__,              
n = 1

\sum_{n=1}^{\infty} n \operatorname{asin}^{n}{\left(n \frac{\pi}{4} \right)}

Sum(n*asin((pi/4)*n)^n, (n, 1, oo))

Radio de convergencia de la serie de potencias

Se da una serie:

n \operatorname{asin}^{n}{\left(n \frac{\pi}{4} \right)}

Es la serie del tipo

a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}

- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:

R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}

En nuestro caso

a_{n} = n \operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}

x_{0} = 0

d = 0

c = 1

entonces

1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}}\right|}{\left(n + 1\right) \left|{\operatorname{asin}^{n + 1}{\left(\frac{\pi \left(n + 1\right)}{4} \right)}}\right|}\right)

R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}}\right|}{\left(n + 1\right) \left|{\operatorname{asin}^{n + 1}{\left(\frac{\pi \left(n + 1\right)}{4} \right)}}\right|}\right)

Respuesta [src]

  oo               
 ___               
 \  `              
  \         n/pi*n\
   )  n*asin |----|
  /          \ 4  /
 /__,              
n = 1

\sum_{n=1}^{\infty} n \operatorname{asin}^{n}{\left(\frac{\pi n}{4} \right)}

Sum(n*asin(pi*n/4)^n, (n, 1, oo))