Sr Examen

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e^(sqrt(n)/(n^2-1))-1

Suma de la serie e^(sqrt(n)/(n^2-1))-1



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                
_____               
\    `              
 \     /   ___     \
  \    | \/ n      |
   \   | ------    |
   /   |  2        |
  /    | n  - 1    |
 /     \E       - 1/
/____,              
n = 1               
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(e^{\frac{\sqrt{n}}{n^{2} - 1}} - 1\right)$$
Sum(E^(sqrt(n)/(n^2 - 1)) - 1, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$e^{\frac{\sqrt{n}}{n^{2} - 1}} - 1$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = e^{\frac{\sqrt{n}}{n^{2} - 1}} - 1$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{e^{\frac{\sqrt{n}}{n^{2} - 1}} - 1}{e^{\frac{\sqrt{n + 1}}{\left(n + 1\right)^{2} - 1}} - 1}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                  
_____                 
\    `                
 \     /         ___ \
  \    |       \/ n  |
   \   |      -------|
   /   |            2|
  /    |      -1 + n |
 /     \-1 + e       /
/____,                
n = 1                 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(e^{\frac{\sqrt{n}}{n^{2} - 1}} - 1\right)$$
Sum(-1 + exp(sqrt(n)/(-1 + n^2)), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie e^(sqrt(n)/(n^2-1))-1

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie