Derivada de y=sin(x)/cos(2x)

Solución

Ha introducido [src]

 sin(x) 
--------
cos(2*x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

sin(x)/cos(2*x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 2 x$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $2$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)} + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 cos(x)    2*sin(x)*sin(2*x)
-------- + -----------------
cos(2*x)          2         
               cos (2*x)

$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

            /         2     \                           
            |    2*sin (2*x)|          4*cos(x)*sin(2*x)
-sin(x) + 4*|1 + -----------|*sin(x) + -----------------
            |        2      |               cos(2*x)    
            \     cos (2*x) /                           
--------------------------------------------------------
                        cos(2*x)

$$\frac{4 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                              /         2     \                
                                                              |    6*sin (2*x)|                
                                                            8*|5 + -----------|*sin(x)*sin(2*x)
             /         2     \                                |        2      |                
             |    2*sin (2*x)|          6*sin(x)*sin(2*x)     \     cos (2*x) /                
-cos(x) + 12*|1 + -----------|*cos(x) - ----------------- + -----------------------------------
             |        2      |               cos(2*x)                     cos(2*x)             
             \     cos (2*x) /                                                                 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                            cos(2*x)

$$\frac{12 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{8 \left(\frac{6 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 5\right) \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} - \frac{6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

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