Derivada de -x*ln((2x-1)/(2x+4))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 x + 4} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{2 x - 1}{2 x + 4}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{2 x - 1}{2 x + 4}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 2 x - 1$ y $g{\left(x \right)} = 2 x + 4$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $2 x + 4$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{10}{\left(2 x + 4\right)^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{10 \left(2 x + 4\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(2 x + 4\right)^{2}}$

   Como resultado de: $- \frac{10 x \left(2 x + 4\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(2 x + 4\right)^{2}} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 x + 4} \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{5 x + \left(x + 2\right) \left(2 x - 1\right) \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}}{\left(x + 2\right) \left(2 x - 1\right)}$

Respuesta:

$- \frac{5 x + \left(x + 2\right) \left(2 x - 1\right) \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}}{\left(x + 2\right) \left(2 x - 1\right)}$