Derivada de y=(1/3)(x-2)sqrt(x+1)+ln((sqrt(x+1))+1)

1. diferenciamos $\frac{x - 2}{3} \sqrt{x + 1} + \log{\left(\sqrt{x + 1} + 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) \sqrt{x + 1}$ y $g{\left(x \right)} = 3$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

         $g{\left(x \right)} = x - 2$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de: $\frac{x - 2}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{x - 2}{6 \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

   2. Sustituimos $u = \sqrt{x + 1} + 1$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $\sqrt{x + 1} + 1$ miembro por miembro:

         1. Sustituimos $u = x + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

         4. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1} \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}$

   Como resultado de: $\frac{x - 2}{6 \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{3} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \sqrt{x + 1} + x + 1}{2 \left(x + \sqrt{x + 1} + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x \sqrt{x + 1} + x + 1}{2 \left(x + \sqrt{x + 1} + 1\right)}$