Derivada de x-ln(sqrt(1+exp^(2x)))

1. diferenciamos $x - \log{\left(\sqrt{e^{2 x} + 1} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sqrt{e^{2 x} + 1}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{e^{2 x} + 1}$:

         1. Sustituimos $u = e^{2 x} + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} + 1\right)$:

            1. diferenciamos $e^{2 x} + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Sustituimos $u = 2 x$.

               3. Derivado $e^{u}$ es.

               4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $2 e^{2 x}$

               Como resultado de: $2 e^{2 x}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{e^{2 x} + 1}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$

   Como resultado de: $1 - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{e^{2 x} + 1}$

Respuesta:

$\frac{1}{e^{2 x} + 1}$