Derivada de x*ln(2*x)-x+1/pi*(cos(pi*x))

1. diferenciamos $\left(x \log{\left(2 x \right)} - x\right) + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x \log{\left(2 x \right)} - x$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{x}$

         Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)} + 1$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-1$

      Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \pi x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \pi x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\pi$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \pi \sin{\left(\pi x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- \sin{\left(\pi x \right)}$

   Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}$

Respuesta:

$\log{\left(2 x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}$