Sr Examen

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x*exp(-x)tan(x/2)-cot(x/2)+x
Derivada de la función/ tan(x/2)-cot(x/2)/ x*exp(-x)tan(x/2)-cot(x/2)+x

Derivada de x*exp(-x)tan(x/2)-cot(x/2)+x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   -x    /x\      /x\    
x*e  *tan|-| - cot|-| + x
         \2/      \2/
x+(xe−xtan⁡(x2)−cot⁡(x2))x + \left(x e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) 
(x*exp(-x))*tan(x/2) - cot(x/2) + x
Solución detallada

  1. diferenciamos x+(xe−xtan⁡(x2)−cot⁡(x2))x + \left(x e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) miembro por miembro:

    1. diferenciamos xe−xtan⁡(x2)−cot⁡(x2)x e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xtan⁡(x2)f{\left(x \right)} = x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=exg{\left(x \right)} = e^{x}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=tan⁡(x2)g{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x2)=sin⁡(x2)cos⁡(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=cos⁡(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              cos⁡(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −sin⁡(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          Como resultado de: x(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2)\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Derivado exe^{x} es.

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        (−xextan⁡(x2)+(x(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2))ex)e−2x\left(- x e^{x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x2)=1tan⁡(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x2)u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x2)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. ddutan⁡(u)=1cos⁡2(u)\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              12cos⁡2(x2)\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x2)=cos⁡(x2)sin⁡(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=sin⁡(x2)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −sin⁡(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              cos⁡(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x2)2−cos⁡2(x2)2sin⁡2(x2)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Entonces, como resultado: sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Como resultado de: (−xextan⁡(x2)+(x(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2))ex)e−2x+sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)\left(- x e^{x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Como resultado de: (−xextan⁡(x2)+(x(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2))ex)e−2x+sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)+1\left(- x e^{x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + 1

  2. Simplificamos:

    (−xsin⁡(x)+x+2(sinh⁡(x)+cosh⁡(x))cos⁡2(x2)+extan⁡2(x2)+sin⁡(x))e−xcos⁡(x)+1\frac{\left(- x \sin{\left(x \right)} + x + 2 \left(\sinh{\left(x \right)} + \cosh{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{e^{x}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}}{\cos{\left(x \right)} + 1}

Respuesta:

(−xsin⁡(x)+x+2(sinh⁡(x)+cosh⁡(x))cos⁡2(x2)+extan⁡2(x2)+sin⁡(x))e−xcos⁡(x)+1\frac{\left(- x \sin{\left(x \right)} + x + 2 \left(\sinh{\left(x \right)} + \cosh{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{e^{x}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}}{\cos{\left(x \right)} + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500000000250000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       2/x\                              /       2/x\\    
    cot |-|                              |    tan |-||    
3       \2/   /     -x    -x\    /x\     |1       \2/|  -x
- + ------- + \- x*e   + e  /*tan|-| + x*|- + -------|*e  
2      2                         \2/     \2      2   /
x(tan⁡2(x2)2+12)e−x+(−xe−x+e−x)tan⁡(x2)+cot⁡2(x2)2+32x \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{- x} + \left(- x e^{- x} + e^{- x}\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{3}{2}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
/       2/x\\  -x   /       2/x\\    /x\                           /       2/x\\  -x   /       2/x\\           -x     /       2/x\\  -x    /x\
|1 + tan |-||*e     |1 + cot |-||*cot|-|                         x*|1 + tan |-||*e     |1 + tan |-||*(-1 + x)*e     x*|1 + tan |-||*e  *tan|-|
\        \2//       \        \2//    \2/             -x    /x\     \        \2//       \        \2//                  \        \2//        \2/
----------------- - -------------------- + (-2 + x)*e  *tan|-| - ------------------- - -------------------------- + --------------------------
        2                    2                             \2/            2                        2                            2
x(tan⁡2(x2)+1)e−xtan⁡(x2)2−x(tan⁡2(x2)+1)e−x2+(x−2)e−xtan⁡(x2)−(x−1)(tan⁡2(x2)+1)e−x2+(tan⁡2(x2)+1)e−x2−(cot⁡2(x2)+1)cot⁡(x2)2\frac{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}}{2} + \left(x - 2\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\left(x - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}}{2} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}}{2} - \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
             2                                                                                                                                                                  2                                                                                                   
/       2/x\\       2/x\ /       2/x\\                                                                                 /       2/x\\  -x                           /       2/x\\   -x        2/x\ /       2/x\\  -x                                /       2/x\\           -x    /x\
|1 + cot |-||    cot |-|*|1 + cot |-||                                                                               x*|1 + tan |-||*e                           x*|1 + tan |-|| *e     x*tan |-|*|1 + tan |-||*e                                  |1 + tan |-||*(-1 + x)*e  *tan|-|
\        \2//        \2/ \        \2//   /       2/x\\  -x   /       2/x\\           -x   /       2/x\\  -x    /x\     \        \2//                 -x    /x\     \        \2//              \2/ \        \2//         /       2/x\\  -x    /x\   \        \2//                 \2/
-------------- + --------------------- - |1 + tan |-||*e   + |1 + tan |-||*(-2 + x)*e   + |1 + tan |-||*e  *tan|-| + ------------------- - (-3 + x)*e  *tan|-| + -------------------- + --------------------------- - x*|1 + tan |-||*e  *tan|-| - ---------------------------------
      4                    2             \        \2//       \        \2//                \        \2//        \2/            2                            \2/            4                          2                  \        \2//        \2/                   2
x(tan⁡2(x2)+1)2e−x4+x(tan⁡2(x2)+1)e−xtan⁡2(x2)2−x(tan⁡2(x2)+1)e−xtan⁡(x2)+x(tan⁡2(x2)+1)e−x2−(x−3)e−xtan⁡(x2)+(x−2)(tan⁡2(x2)+1)e−x−(x−1)(tan⁡2(x2)+1)e−xtan⁡(x2)2+(tan⁡2(x2)+1)e−xtan⁡(x2)−(tan⁡2(x2)+1)e−x+(cot⁡2(x2)+1)24+(cot⁡2(x2)+1)cot⁡2(x2)2\frac{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} e^{- x}}{4} + \frac{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}}{2} - \left(x - 3\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(x - 2\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} - \frac{\left(x - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{4} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*exp(-x)tan(x/2)-cot(x/2)+x
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