Derivada de x*sqrt(1+ln(1-2x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(1 - 2 x \right)} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Sustituimos $u = 1 - 2 x$.

         3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)$:

            1. diferenciamos $1 - 2 x$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-2$

               Como resultado de: $-2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{2}{1 - 2 x}$

         Como resultado de: $- \frac{2}{1 - 2 x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{1}{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}}$

   Como resultado de: $- \frac{x}{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}} + \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \left(2 x - 1\right) \left(\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{x + \left(2 x - 1\right) \left(\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{\log{\left(1 - 2 x \right)} + 1}}$