Derivada de y'=e^x-sin(e^x)*cos(e^x)^3

1. diferenciamos $e^{x} - \sin{\left(e^{x} \right)} \cos^{3}{\left(e^{x} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(e^{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(e^{x} \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(e^{x} \right)}$:

            1. Sustituimos $u = e^{x}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$:

               1. Derivado $e^{x}$ es.

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)}$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = e^{x}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}$

         Como resultado de: $- 3 e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)} + e^{x} \cos^{4}{\left(e^{x} \right)}$

      Entonces, como resultado: $3 e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)} - e^{x} \cos^{4}{\left(e^{x} \right)}$

   Como resultado de: $3 e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)} - e^{x} \cos^{4}{\left(e^{x} \right)} + e^{x}$

2. Simplificamos:

   $\left(5 - 4 \sin^{2}{\left(e^{x} \right)}\right) e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)}$

Respuesta:

$\left(5 - 4 \sin^{2}{\left(e^{x} \right)}\right) e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)}$